Deleuze et les mathématiques

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Le modèle mathématique à la base de la philosophie de Deleuze  permet-il d’accéder à une réalité en-soi ? 

Anna Longo – lab Aesthética, Institut Acte, Paris 1

Résumé

 Dans cet article nous essayerons de dégager le modèle mathématique à la base de la philosophie de Gilles Deleuze : le calcul différentiel. Ce modèle permet d’expliquer les opérations à travers lesquelles l’esprit parvient à une connaissance de la réalité phénoménale à partir d’une Idée virtuelle, qui pose les conditions du problème dont la pensée fournit les solution. En suite, nous essayerons de comprendre si la philosophie de Deleuze mérite l’appellation de « subjectalisme » qui lui a été attribué par Quentin Meillassoux, pour indiquer son incapacité d’accéder à un absolu dépourvu de tout caractère subjectif. Pour conclure, nous ferons une comparaison entre les modèles mathématique employés par les deux philosophes afin de légitimer la connaissance de la réalité.

Chaque domaine engendré, et où s’incarnent

les Idées dialectiques de tel ou tel ordre,

possède son propre calcul. [1]

Gilles Deleuze

 

«  Le calcul différentiel est l’algèbre de la pensée pure »[2], ainsi, dans un passage souvent négligé de Différence et répétition, Gilles Deleuze rend explicite le modèle de sa philosophie de la différence. On verra que dans ce contexte le calcul n’est pas un simple outil mathématique, mais le modèle de la genèse de toute réalité actuelle, y compris de la pensée. Ce modèle permet d’expliquer les opérations que l’esprit accomplit sur la base de l’expérience sensible afin de produire ses déterminations mais aussi de fonder la connaissance sur une réalité non-phénoménale : les idées comme différentielles de la pensée.

Nous essayerons d’abord de clarifier comment Deleuze dégage de l’analyse moderne le paradigme qui lui permet de fonder la connaissance sur les « conditions réelles de la pensée »[3], c’est-à-dire les condition génétiques pré-individuelles plutôt que les conditions subjectives et a priori. Ensuite, nous essayerons de comprendre si la philosophie de la différence mérite l’appellation de « subjectalisme » attribuée par Quentin Meillassoux[4] pour indiquer son incapacité à accéder à un absolu dépourvu de tout caractère subjectif. Pour conclure, nous essayerons de comparer le virtuel de Deleuze et celui de Meillassoux par rapport aux modèles mathématiques les supportant. On verra ainsi que l’hétérogénéité des deux théories de la connaissance dérive des différentes assomptions philosophiques concernant l’origine des mathématiques.

1 – La métaphysique du calcul et la genèse différentielle de la pensée

Source : Pixabay

Source : Pixabay

Le projet à la base de philosophie de la différence de Deleuze, mis en évidence par Anne Sauvagnargues[5], est l’établissement d’un empirisme transcendantale capable d’expliquer la genèse des déterminations de la pensée, c’est-à-dire les conditions réelles plutôt qu’a priori, de la connaissance. Ce projet, dont le but correspond à celui de l’idéalisme postkantien, s’oppose toutefois à ce dernier, notamment dans sa formulation hégélienne, fondé sur la notion d’identité et non-identité, sur l’opposition entre A et –A. Deleuze, en fait, vise à expliquer la genèse de la réalité phénoménale et du sujet à partir d’une dialectique fondée sur la notion de différentiel plutôt que sur celle de contradiction : « nous opposons dx à non – A, comme le symbole de la différence à celui  de la contradiction – comme la différence en elle-même à la négativité ».[6] Ainsi, comme variation infinitésimale et indéterminée, la différence n’est pas la limite entre deux identités données, mais la condition non-phénoménale de toute identité engendrée comme un objet déterminé dans la pensée. Il s’agit alors de mettre la pensée « en rapport avec ses conditions spatio-temporelles d’effectuation en posant sa genèse à l’extérieur d’elle-même »[7], de comprendre les conditions réelles (non-phénoménales) du processus d’individuation de la pensée. A cet égard le calcul fournit le modèle des opérations par lesquelles la pensée se détermine à partir de ses conditions non-phénoménales, à partir du différentiel, le dx.

Avant de rentrer dans le détail de la philosophie de la différence de Deleuze, nous souhaitons d’abord introduire très brièvement le calcul et la question philosophique qu’il implique, celle de l’infinitésimale (dx).

Le calcul compte deux opérations fondamentales,  l’une étant l’inverse de l’autre : la différentiation et l’intégration. Etant donnée une fonction, représentée par une courbe dans un système de coordonnées, la différentiation consiste à trouver les équations dérivées décrivant le comportement de la courbe en un point précis (les tangentes à la courbe), voire le taux de variation instantané de la valeur de la fonction par rapport aux variation des paramètres de celle-ci. Toutefois la découverte fondamentale de Leibniz et Newton (chacun élaborant sa méthode indépendamment de l’autre) est la technique d’intégration, permettant de retrouver la variation totale d’une fonction (la totalité de la courbe) à partir de sa variation instantanée, c’est-à-dire à partir des différentielles. Cette technique, qui consiste dans la manipulation de quantités infinitésimales (dx, dy : variations instantanées) permet résoudre les équations différentielles liant une fonction à ses dérivées. C’est le genre de problème qui intéresse Deleuze, consistant à déterminer la courbe de la fonction à partir des différentielles, entendues comme variations instantanées et indéterminées : donc comme différences en soi plutôt que comme différences entre deux identités données.

Or il faut noter qu’au moment de son introduction par Leibniz et Newton, la notion d’infinitésimal (variation infiniment petite), était fort problématique et impliquait la question d’ordre philosophique suivante : « les infiniment petits sont-ils  réels ou fictifs? »[8]. Question à laquelle Leibniz et Newton répondaient d’une manière différente sans pouvoir donner une base solide au calcul : «  le tort de Newton est donc d’égaler à zéro les différentielles, mais celui de Leibniz, de les identifier à l’individuel ou à la variabilité »[9]. Or il faut noter que pour Deleuze la métaphysique de Leibniz émerge comme réponse aux questions liées au calcul infinitésimale – les monades ne seraient rien d’autre que des infinitésimaux – de plus, toute la théorie de la perception serait fondée sur l’idée d’une intégration de petites perceptions obscures. Leibniz est donc considéré un des premiers à avoir conçu la possibilité d’une philosophie de la différence, fondée sur la notion métaphysique d’infinitésimal (on ne fait pas l’expérience des infinitésimaux, mais les infinitésimaux sont la condition de toute expérience). Toutefois, Leibniz n’est pas le seul à s’être lancé dans une telle entreprise car la métaphysique du calcul se trouve à la base d’autres « philosophies de la différence », notamment à l’époque post-kantienne, celles de Salomon Maïmon,  Hoëné Wronski et Jean Bordas-Demoulin. C’est donc à partir de cette « histoire ésotérique de la philosophie  différentielle »[10], qui cherche les conditions métaphysiques de la connaissance dans la différence entendue comme dx plutôt que comme –A (opposition), que Deleuze élabore son empirisme transcendantal sur le modèle du calcul.

Maïmon, Wronski et Bordas-Demoulin s’efforcent de donner une interprétation du calcul dans laquelle les infinitésimaux ont une réalité nouménale, potentielle ou idéelle, qui en fait la condition non-phénoménale de tout phénomène. Dans les philosophies de ces penseurs la différence (dx) apparait comme « c’est par quoi le donné est donné »[11]. En ce sens « la différence n’est pas le phénomène, mais le plus proche noumène du phénomène »[12], c’est-à-dire la raison de l’apparition de toute réalité phénoménale. Le dx ne constitue aucune identité donnée : on ne peut pas faire expérience de l’infiniment petit, il n’y a pas un concept pour déterminer l’infiniment petit. Le dx n’est donc pas de l’ordre du phénoménale, bien que, du point de vue rationnel, toute quantité déterminée peut se diviser à l’infini. Le dx, alors, est d’ordre idéal plutôt que phénoménal. L’idée, en ce sens, est l’indéterminé (dx, dy) se dépassant vers la déterminabilité (dy/dx) et la détermination complète. De ce fait, l’idée, peut être comprise comme ayant le caractère de la raison suffisante : la cause de toute réalité phénoménale déterminée.

2 – L’idée comme problème

Les travaux de Maïmon, Wronski et Bordas-Demoulin constituent l’origine de la philosophie de la différence que Deleuze développe en introduisant les idées plus récentes de Bernard Riemann, Henri Poincaré et Hermann Weyl, tout en suivant les réflexions philosophiques de Albert Lautman. Dans Essai sur les notions de  structure et d’existence en mathématiques, Lautman montre les surfaces de Bernhard Riemann (1826-1866) qui fournissent un exemple de la manière dont, en mathématique, un structure idéelle est capable de créer des objets déterminés.

Les surfaces de Riemann sont des variétés (multiplicités, manifold) à deux dimensions permettant d’uniformiser (rendre différentiables) des fonctions qui présentent des ramifications, c’est-à-dire des singularités (pôles) ou la fonction présente des discontinuités. Pour uniformiser une fonction, on utilise la méthode dite « continuation analytique ». Ce procédé permet de déterminer les cercles de convergence pour chaque point de la courbe à partir de points singuliers et en opérant par différentiation des différentielles. La répétition de l’opération de différentiation permet de déterminer des équations différentielles s’approchant de plus en plus la courbe à déterminer. Ainsi, comme par différentiation on obtient des cercles de convergence, on peut donc considérer la différentielle non seulement comme une tangente à la courbe mais comme une surface, constituée par l’adjonction de ces cercles, sur laquelle la fonction devient déterminable. Notamment, les surfaces de Riemann permettent de représenter chaque branche de la fonction sur une « feuille » et de joindre les différentes feuilles en constituant une surface continue (voir fig. 1). Selon la définition de Weyl[13], que Lautman reprend, les surfaces sont constituées par une juxtaposition de voisinages où la fonction est définissable.

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Puisque la surface peut être considérée comme la différentielle de la courbe, Riemann s’intéresse  aux fonctions déterminables sur une surface donnée, sur lesquelles il faut spécifier les conditions du problème. En suivant l’explication de Lautman, pour spécifier les conditions du problème sur la surface, et la rendre ainsi apte à créer, il faut sélectionner deux points a et b et les joindre par une ligne : une fois la surface coupée par cette ligne, ce que lui donne son caractère topologique propre, il existe une fonction potentielle dont les points a et b sont les pôles (singularités). Il est en suite possible d’uniformiser cette fonction pour la rendre déterminable en tout le domaine. C’est donc la coupure établie entre les deux points singuliers, qui transforme la surface en une structure apte à créer, à engendrer des fonctions analytiques, des objets déterminés : la surface, comme instance idéelle indéterminée, se constitue comme un problème d’ordre différentiel dont les fonctions engendrées sont les solutions. La surface, sur laquelle on spécifie les conditions du problème ou les singularités, est donc l’instance idéelle dont « les solutions sont comme les discontinuités compatibles avec les équations différentielles, et s’engendrent sur une continuité idéelle en fonction des conditions du problème »[14]. En reprenant Lautman, Deleuze définit alors l’idée comme essentiellement problématique car « un objet hors de l’expérience ne peut être représenté que sous une forme problématique »[15]. Le problème différentiel idéal, se caractérise donc par « sa différence de nature avec les solutions ; sa transcendance par rapport aux solutions qu’il engendre à partir de ses propres conditions déterminantes ; son immanence aux solutions  qui viennent  le recouvrir »[16]. Ces propriétés sont celles du virtuel : conditions réelles mais non actuelles de tout objet actuel (phénomène) dont on fait l’expérience.

3 – Les idées sont des multiplicités virtuelles

Comme l’on vient de voir, les idées-problèmes sont des espaces topologiques différentiés où la distribution des singularités constitue les conditions du problème en rendant possible la détermination des solutions. Or la surface de Riemann qui constitue un des exemples que Lautman utilise pour expliquer sa théorie des idées problématiques, est un manifold, c’est-à-dire une multiplicité ou une variété. Ainsi Deleuze peut soutenir que « les Idées sont des multiplicités, chaque Idée est une multiplicité, une variété »[17].  Or, on sait que le terme de multiplicité avait été utilisé en rapport à Riemann par un autre des philosophes dont Deleuze s’inspire : Henri Bergson. Comme on lit dans Le bergsonisme :

 

Le mot multiplicité n’est pas là comme un vague substantif correspondant à la notion philosophique bien connue du Multiple en général. En effet, il ne s’agit pas pour Bergson d’opposer le Multiple à l’Un, mais au contraire de distinguer deux types de multiplicité. Or, ce problème remonte à un savant de génie, physicien et mathématicien, Riemann.[18]

 Néanmoins nous allons pas rentrer dans les détails de Matière et mémoire, et nous nous contenterons de souligner que pour Bergson il s’agit de distinguer deux types de multiplicités, discrètes et continues. Les multiplicités discrètes sont  « la mesure de leurs parties étant donnée par le nombre des éléments qu’elles contenaient », tandis que les multiplicités continues «trouvent un principe métrique dans autre chose, ne fût-ce que dans les phénomènes se déroulant en elles »[19]. Pour Bergson, les multiplicités discrètes, extensives et métriques caractérisaient les phénomènes actuels connus par la science, alors que les multiplicités qualitatives, continues et intensives, caractérisaient la dimension temporelle et subjective de la durée. Toutefois, pour Deleuze il ne s’agit pas d’identifier l’actuel et le virtuel à deux multiplicités différentes, mais de comprendre les problèmes en terme de multiplicité afin de ne pas soumettre les idées au concept d’identité, c’est-à-dire de l’un. Les idées sont donc des multiplicités virtuelles « soit qu’ils caractérisent la multiplicité globalement, soit qu’ils procèdent par juxtaposition de voisinages »[20]. Or, les multiplicités caractérisées globalement sont les surfaces de Riemann, crées pour l’analyse et qui possèdent une structure topologique particulière  dépendant des coupures décrites dans le paragraphe précédent. En revanche, les multiplicités procédant par une juxtaposition de voisinages ont été crées par Riemann dans le cadre de sa géométrie différentielle et non-euclidienne. En accord avec Herman Weyl[21], Deleuze traite d’une manière indifférente les multiplicités qui, pour Bergson, caractérisaient les deux domaines distincts du virtuel et de l’actuel. Selon Weyl, on peut entendre les deux types variétés ou multiplicités, comme des structures constituées par l’articulation d’espaces locales: d’une part la juxtaposition des voisinages où les uniformisations des fonctions sont définies, et de l’autre la juxtaposition des voisinages infinitésimales définis par la valeur du ds. Plutôt qu’attribuer un rôle différent aux deux multiplicités, pour Deleuze l’important est de reconnaître que chaque multiplicité, comme idée, a une structure qui consiste dans un espace topologique strictement dépendant de l’organisation interne entre ses éléments génétiques : l’important est que chaque multiplicité « soit définie de manière intrinsèque, sans en sortir ni recourir à un espace uniforme dans lequel elle serait plongée »[22]. Une multiplicité, en tant qu’idée, alors, est « un système de liaison multiple non localisable entre éléments différentiels, qui s’incarne dans des relations réelles et des termes actuels »[23]. Les multiplicités, comme conditions différentielles du problème, sont importantes pour Deleuze car elle permettent de penser l’Idée sans faire référence aux notions d’un et multiple : les variété sont un système de relations entre élément indéterminés (dx, dy) qui ne comptent pas comme un.

4 – Singularités

Les multiplicités, comme structures problématiques idéelles, contiennent des points très importants pour la détermination des solutions : les singularités. Comme souligné par Lautman, que Deleuze cite dans l’extrait suivant, les singularité ont de plus en plus d’importance dans le cadre de l’analyse contemporaine car

1 ° permettent la détermination d’un système fondamental de solutions prolongeâmes analytiquement sur tout chemin ne rencontrant pas de singularités; 2° leur rôle est de décomposer un domaine de façon que la fonction qui assure la représentation soit définissable sur ce domaine ; 3 ° ils permettent le passage de l’intégration locale des équations différentielles à la caractérisation globale des fonctions analytiques qui sont solutions de ces équations.[24]

 

D’abord les singularités sont les points remarquables qui permettent de caractériser, par extension des voisinages, les suites des points ordinaires qui s’étendent entre une singularité et l’autre. Ensuite, les singularités sont les points qui rendent la surface, ou la multiplicité, apte à créer car elles déterminent la coupure qui laisse apparaitre les fonctions analytiques. Enfin, elles rendent possible le passage de la caractérisation locale des fonctions, c’est-à-dire par voisinages, à la caractérisation globale. Ce dernier aspect des singularités se comprend par rapport à la méthode qualitative introduite en analyse par Henri Poincaré dans son Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle[25]. Cette méthode consiste en une étude topologique des courbes, autrement dit des représentations géométriques des courbes intégrales intégrées à partir d’équations différentielles présentant des valeurs indéfinies complexes, qui font diverger les séries en rendant impossible la méthode de continuation analytique (laquelle nécessite de la convergence au voisinage d’un point afin de déterminer la fonction). Grâce à l’étude topologique de ces courbes, il est possible de déterminer l’existence de singularités particulières, les singularités essentielles : « cols, nœuds, foyers, centres ». Ces singularités sont les points autour desquels les valeurs de la fonction fluctuent entre différentes possibilités sans pouvoir se stabiliser, autrement dit, il s’agit des points qui agissent comme des attracteurs déterminant les trajectoires des courbes intégrales[26] (voir fig. 2).

fig. 2, singularités essentielles

fig. 2, singularités essentielles

 Or, il faut remarquer que ces singularités fournissent un exemple du pouvoir génétique du champ vectoriel et elles permettent de résoudre le problème posé par les différentielles complexes dont les séries ne convergent pas vers une fonction analytique.

On pensera notamment au rôle des points réguliers et singuliers qui entrent dans la détermination complète d’une espèce de courbe. Sans doute la spécification des points singuliers (par exemple cols, nœuds, foyers, centres) ne se fait-elle que par la forme des courbes intégrales qui renvoient aux solutions de l’équation différentielle. Il n’y en a pas moins une détermination complète concernant l’existence et la répartition de ces points, qui dépend d’une tout autre instance, à savoir du champ de vecteurs défini par cette équation même [27].

Les singularités assument alors un rôle fondamental dans la philosophie de Deleuze car leur distribution définit la potentialité de l’espace topologique des multiplicités, elles sont fondamentales pour la définition des conditions du problème à résoudre.

 5 – Virtuel et actuel

Les idées, comme structures problématiques, sont la raison suffisante de l’apparition des phénomènes, c’est-à-dire des objets actuels dans leur être présent dans une conscience. Ces structures idéelles ou multiplicités, sont différentiées (avec un « t »), c’est-à-dire qu’elles se caractérisent par certains rapports entre éléments différentiels (dy/dx) et par la distribution des singularités. Comme un problème bien construit, les idées possèdent une structure qui le rendent déterminables, quand la détermination ne se fait que pendant le processus de résolution : la différenciation (avec un « c »). La structure problématique différentiée, qui diffère en nature par rapport aux solutions différenciées, doit être considérée comme virtuelle, tandis que les solutions différenciées constituent le domaine de l’actuel. La genèse, suivant laquelle on passe du différentié au différencié, du problème aux solutions, des idées déterminables aux phénomènes déterminés, va donc du virtuel à l’actuel :

Il suffit de comprendre que la genèse ne va pas d’un terme actuel, si petit soit-il, à un autre terme actuel dans le temps, mais du virtuel à son actualisation, c’est-à-dire de la structure à son incarnation, des conditions de problèmes aux cas de solution, des éléments différentiels et de leurs liaisons idéales aux termes actuels et aux relations réelles diverses qui constituent à chaque moment l’actualité du temps.[28]

Le virtuel est l’idée ou la multiplicité (manifold) différentié, par contre l’actuel est le domaine des phénomènes engendrés comme solutions : « c’est toujours par rapport à un problème différentié, à des conditions de problèmes différentiées, qu’une différenciation d’espèces et de parties s’opère, comme correspondant aux cas de solution du problème »[29]. Toutefois, il ne faut pas confondre le virtuel et le possible car « la virtualité de l’Idée n’a rien à voir avec une possibilité. La multiplicité ne supporte aucune dépendance à l’identique dans le sujet ou dans l’objet »[30]. Le possible est ce qui contient déjà la totalité de tout ce que peut exister, de tout ce qu’on peut faire expérience mais l’actualisation, « elle ne se fait pas par limitation d’une possibilité préexistante »[31]. Le virtuel est la multiplicité (ni un, ni multiple, donc non-totalisable, non-conceptualisable comme un tout) différentié qui se différencie en laissant apparaitre des solution qui ne ressemblent pas aux conditions du problème : « l’actualisation,  la différenciation, en ce sens, est toujours une véritable création »[32].

Or, le dynamisme spatio-temporel, pendant lequel une idée différentié se différencie, est un processus d’individuation, au sens simondonien[33], qui « dramatise » l’idée. Ainsi « le rapport différentiel indistinct dans l’idée s’incarne dans une qualité distincte et dans un étendu distinguée »[34]. De ce fait, l’individu se trouve alors « accolé à une moitié pré-individuelle, qui n’est pas l’impersonnel en lui, mais plutôt le réservoir de ses singularités »[35]. Cette moitié virtuelle, une multiplicité de rapports différentiels, reste immanente dans l’individu actualisé et constitue le plan transcendantal pré-subjectif qui est la condition des différenciations successives. Ce mécanisme de différenciation, ou d’actualisation, laisse émerger les individus comme solutions. Mais il faut noter que chaque être individué est déjà individué comme conscience : « tout dynamisme spatiotemporel est l’émergence d’une conscience élémentaire qui trace elle-même des directions, qui double les mouvements et migrations, et naît au seuil des singularités condensées par rapport au corps ou à l’objet dont elle est conscience »[36].

Le sujet, donc, se constitue en rapport à l’idée et il ne préexiste pas au problème que sa conscience résoudre par intégration des conditions différentielles, « car nous ne sommes pas fixés à un état ou à un moment, mais toujours fixés par une Idée comme par la lueur d’un regard, toujours fixés dans un mouvement en train de se faire »[37]. Le processus d’actualisation implique un processus d’individuation qui concerne à la fois les êtres et leur conscience. La pensée n’est pas douée a priori d’une structure transcendantale qui appartiendrait à un sujet toujours-déjà constitué, mais elle se détermine pendant le processus de différenciation, d’actualisation, par rapport aux conditions problématiques qui sont la condition de tout dynamisme spatio-temporel d’individuation.

6 – Deleuze et les mathématiques de l’esprit

Le passage du virtuel à l’actuel se fait donc sur le modèle du calcul différentiel : les êtres se déterminent comme solutions au problème posé par les multiplicités idéelles, cette détermination implique aussi la détermination d’une conscience larvaire, c’est-à-dire une individuation de la corresponde aux mêmes conditions différentielles (tout en étant une individuation qui diffère en nature de la première). Ainsi, la pensée, comme dégrée différencié de la conscience larvaire, se détermine opérant une sorte d’intégration des différentielles qui se donnent à sentir comme différences intensives : l’expérience nous fais « sentir » les conditions problématiques qui forcent la pensée à penser, à se déterminer comme solution.  Bien qu’il soit un simple outil mathématique, le calcul différentiel « trouve son sens dans la révélation d’une dialectique qui dépasse la mathématique »[38] et il est donc valable comme un modèle des opérations de l’esprit qui satisfait l’établissement d’un empirisme transcendantal. La philosophie de la différence, selon laquelle l’indéterminé dx se rend déterminable comme rapport différentiel au sein d’une idée-problème constitue une dialectique qui préside à tout processus d’actualisation : « à l’universalité de la dialectique répond en ce sens une mathesis universalis »[39]. Il y a donc des problèmes mathématiques, physiques, biologiques, sociologiques, psychiques qui trouvent leur solution dans les différentes disciplines actualisant dans la pensée les solutions spécifiques, mais en tous cas chaque solution se détermine par rapport à « un système de liaisons  entre éléments différentiels, un système de rapports  différentiels  entre  éléments génétiques »[40]. Autrement dit, « chaque domaine engendré, et où s’incarnent  les Idées dialectiques de tel ou tel ordre, possède son  propre calcul »[41]. Il faut noter que pour Deleuze, l’analyse ne constitue pas l’expression mathématique la plus achevé, et que les problèmes mathématiques donnent origine à des solutions dans d’autres domaines, comme la théorie des ensembles ou la topologie, de toute manière le calcul constitue le modèle dialectique des opérations de l’esprit et il désigne  « universellement  l’ensemble du composé Problème ou  Idée dialectique – expression scientifique d’un problème –  instauration  du champ de solution ». Bref : « si l’Idée est la différentielle de la pensée, il y a un calcul différentiel correspondant à chaque Idée, alphabet de ce que signifie penser »[42].

On se souviendra qu’à la base de cette manière de comprendre le calcul, il y a les théories de Lautman, qui a donné une interprétation platonicienne de l’analyse et des mathématiques en général. Selon Lautman les objets mathématiques sont engendrés grâce à une sorte de dialectique opérant par division ou par décomposition à partir des structures idéelles. Toutefois, il faut noter que par rapport à Lautman, Deleuze considère les idées-problèmes comme immanentes à tout genre de solution, non seulement des solutions mathématiques. De plus ces idées-problèmes sont en devenir. La distribution des singularités qui caractérise la multiplicité idéelle change sous le modèle d’un jeu de dés : ces coups aléatoires sont à l’origine de la définition variable des conditions du problème.

Nous nous demandions quelle est l’origine des Idées, d’où viennent les problèmes ; et nous invoquons des coups de dés, des impératifs et des questions du hasard au lieu d’un principe apodictique, un point aléatoire où tout s’effondre au lieu d’un fondement solide. Nous opposons ce hasard à l’arbitraire dans la mesure où il est affirmé, impérativement affirmé, affirmé sur ce mode très particulier de la question ; mais cette affirmation elle-même, nous la mesurons à la résonance qui s’établit entre les éléments problématiques issus du coup de dés.[43]

7 – La critique de Meillassoux au système deleuzien

Dans l’exposé donné à l’Université libre de Berlin en 2012,[44] Quentin Meillassoux a clarifié les enjeux de son matérialisme spéculatif afin de se démarquer d’autres approches philosophiques qui peuvent se réclamer des réalismes spéculatifs. On sait que Meillassoux a été associé à cette récente tendance philosophique qui vise à accéder par voie spéculative à un absolu capable de légitimer la connaissance du réel au-delà du phénomène. Or, dans cet exposé, Meillassoux  souligne surtout la différence entre son matérialisme spéculatif et les philosophies qu’il définit de « subjectalismes », dont le système deleuzien est un de ses exemples préférés. Dans les philosophies qu’il définit comme « subjectalistes », on trouve l’hylozoisme, l’idéalisme postkantien, les divers vitalismes comme celui de Nietzsche ou de Bergson. Cela consiste au fait qu’on peut accéder par voie spéculative (par la raison plutôt que par l’expérience) à une propriété des choses qui est la raison d’être et du devenir phénoménale et de notre capacité de le connaitre d’une manière objective. Notamment, la sensibilité chez Diderot, la raison chez Hegel, la créativité libre chez Schelling, la volonté de puissance chez Nietzsche ou la perception des images chez Bergson, qui sont différentes manières d’entendre cette raison d’être du devenir et de la pensée, engendré conformément aux mêmes règles du devenir naturel. Toutefois, Meillassoux remarque, dans tous ces cas de subjectalisme, cette raison nécessaire de la réalité phénoménale est une propriété subjective. La philosophie de Deleuze serait donc un exemple de cette forme philosophique car toute chose est considérée comme douée d’une subjectivité larvaire, d’une conscience toujours-déjà  présente d’une manière telle que la pensée humaine serait directement engendrée par le processus de différenciation qui laisse émerger toute chose comme une chose douée de conscience. Par conséquent, Meillassoux soutient que dans la philosophie deleuzienne toute chose se détermine comme un degré d’intensité sensible et il n’y aurait donc pas des différences de nature entre les objets morts et le vivant sensible et pensant. Le « monisme=pluralisme » [45] de Deleuze serait alors un « pluralisme=monisme », toute chose n’étant qu’une différenciation du même substrat, des mêmes subjectivités larvaires dont l’inorganique et l’organique se composent. En accord avec cette interprétation, le chaosmos[46], le virtuel deleuzien, serait l’unité à partir de la quelle toute chose émerge comme un degré différencié de conscience, de plus, il s’agiterait d’une totalité métaphysique et nécessaire contenant déjà en puissance la totalité du possible.

La philosophie deleuzienne pourrait être considérée à la fois réaliste et spéculative car elle atteint une propriété absolue (la subjectivité larvaire, pré-individuelle) qui rend la connaissance subjective adéquate car elle est naturellement engendrée selon les mêmes règles qui organisent la production des phénomènes. Toutefois, bien que spéculative et réaliste, la philosophie de Deleuze ne serait pas un « matérialisme spéculatif », le terme que Meillassoux réserve à son propre système pour le différencier des autres formes de réalisme spéculatif.

La philosophie de Meillassoux est spéculative car elle se base sur l’accès rationnel à un absolu, la contingence nécessaire de toute chose, et c’est une philosophie réaliste car cette propriété permet de fonder la possibilité d’une connaissance adéquate de certaines propriétés des objets, il s’agit de la connaissance scientifique qui produit des descriptions mathématiques des faits. Mais, en outre, la philosophie de Meillassoux est matérialiste car elle suppose une différence de nature entre l’inorganique et l’organique, entre les objets morts et les vivants sensibles et pensants. Ce dualisme indépassable permet de connaitre la réalité comme un objet mort, complètement dépourvu de toute propriété du sujet (vie, conscience, sensibilité, créativité, volonté, raison, etc.). Ainsi la pensée serait indépendante de la nature et, réciproquement, la nature serait indépendante de la pensée : le défi philosophique relevé par Miellassoux consiste à expliquer comment la connaissance est possible étant donnée une différence de nature entre le sujet et l’objet, tout en évitant les solutions de la métaphysique dogmatique. Le matérialisme spéculatif se différencie des formes de subjectalisme car celles-ci expliquent la raison de la connaissance de la nature en faisant de la pensée quelque chose de naturel ou de la nature quelque chose de subjectif. Par contre, selon Meillassoux, la pensée n’est pas naturelle et la nature n’est pas pensante : les deux sont des fait contingents, complètement indépendants l’un de l’autre, deux extériorités complètes dont l’un ne doit pas être conçu comme la cause de l’autre.

Le matérialisme spéculatif s’oppose alors à l’empirisme transcendantal au nom des différences de nature, au nom de l’irréductibilité entre la matière et la pensée, c’est-à-dire au nom d’un pluralisme effectif et capable de légitimer la création ex-nihilo. Pour ce qui concerne ce dernier point, il faut considérer que le virtuel de Meillassoux, l’Hyperchaos, est « un temps capable de détruire et créer, sans raisons, tous les espace-temps ontiques »[47]. Ce temps n’est pas le temps à l’intérieur duquel se passe le devenir mais le temps qui a la capacité de détruire tout devenir temporel pour y substituer un espace-temps différent se caractérisant pour son devenir propre. Autrement dit, L’Hyperchaos est l’ensemble non totalisable de tous les faits qui pourraient s’actualiser sans raison, ex-nihilo, d’une manière contingente. Tout espace-temps particulier, comme monde doué de certaines lois, peut donc être actualisé ou détruit sans qu’une cause le rende nécessaire. Ainsi, le monde dont on fait l’expérience doit être considéré comme espace-temps réglé par des lois non nécessaires qui en déterminent le devenir jusqu’à leur suppression ou modification contingente. La pensée, alors, doit être considérée comme un fait actualisé sans raison dans une nature de la quelle elle ne dépend pas, (ni la nature doit être pensée comme étant engendre par une activité subjective) : la pensée est le résultat d’un changement des lois contingentes de la nature. La contingence absolue, comme propriété de tout ce qui peut exister, permet donc de fonder l’indépendance réciproque de la pensée et de la nature, et, par conséquent, la possibilité du matérialisme, une connaissance de la matière comme dépourvue de tout caractère subjectif. Meillassoux oppose donc l’Hyperchaos au Chasmos de Deleuze, le premier étant l’ensemble non-totalisable de tout fait contingent qui peuvent être actualisé et le seconde étant l’unité nécessaire du seul devenir possible, celui de la différenciation des intensités sensibles qui engendre, et les choses et la pensée.

8 – Les deux virtuels

Or, après avoir décrit le modèle mathématique de l’empirisme transcendantal et après avoir résumé les considérations de Meillassoux, nous nous demandons si l’empirisme transcendantal de Deleuze est effectivement un subjectalisme. D’abord, il faut avouer que tout processus d’individuation, inorganique et organique, se produit en suivant les mêmes mathématiques employées par l’esprit et on peut dire, en accord avec Meillassoux, qu’il y a de la pensée dans chaque chose. De plus, car le processus de différenciation permettant le passage du virtuel à l’actuel se fait par rapport aux intensités, aux différences qualitatives dans l’espace topologique différentié ou idéel, on peut dire que chaque chose se produit en « sentant » ces différences. Ceci implique que la connaissance que Meillassoux souhaite légitimer, indépendamment du contexte où le penseur sensible se trouve immergé, n’est pas possible chez Deleuze car, s’il y a une vérité absolue dans son système, ceci concerne la vérité du relative (chaque connaissance vraie émerge par rapport à des conditions pré-subjectives particulières).

Dans le système de Meillassoux, la connaissance scientifique se trouve légitimé comme capacité de saisir les objets en soi grâce aux mathématiques, c’est-à-dire indépendamment de toute circonstance spatiale et temporelle de la relation subjective avec les choses. Par contre, dans le système deleuzien la connaissance scientifique est une modalité de résoudre les problèmes posés par les idées dialectiques incarnées dans un certain état de choses actuel, elle dépend donc des conditions problématiques empiriquement senties comme différences d’intensité. La connaissance est une individuation de la pensée qui trouve ses conditions réelles dans le processus de différenciation, elle se fait selon le modèle du calcul différentiel, donc comme une intégration qui donne donc des solutions vraies mais valables par rapport à des conditions problématiques spécifiques. La vérité concerne donc le relatif et aucun fait est connaissable indépendamment des circonstances spatiales et temporelles dans lesquelles elle se produit.

On pourrait alors être d’accord avec Meillassoux et soutenir que l’empirisme transcendantal est une forme de subjectialisme plutôt qu’une forme de matérialisme et qu’il permet de connaitre aucune réalité dépourvue de qualités subjectives. Toutefois, bien que dans le royaume de l’actuel toute choses partage des propriétés subjectives, il faut considérer que le Chaosmos, c’est-à-dire le virtuel comme Idée-problème, n’en possède aucune. Le Chasmos est l’espace topologique différentiel qui se différentie par rapport à des coups de dès aléatoires qui redistribuent les singularités pendant que les éléments génétiques indéterminés (dx, dy) se dépassent vers la déterminabilité réciproque (dy/dx). Par conséquent, le chaosmos est l’espace de différentiation ou les idées, comme conditions problématique particulières, se définissent comme des multiplicités aptes à créer, à laisser émerger ce qui diffère en nature (entre les différentielles et les courbes intégrales il y a une différence de nature comme entre le problème et les solutions). Selon Différence et répétition, il n’y a pas, comme Meillassoux le soutient, une dualité entre l’inorganique et l’organique, car toute individuation, organique et inorganique, se détermine selon le même principe d’intégration, toutefois il y a une différence de nature entre le virtuel et l’actuel, entre les conditions différentielles et les courbes-solution, entre les conditions non-phénoménales idéelles et les phénomènes sensibles. Par conséquent on ne peut pas dire que, comme dans le autres formes de subjectalisme, une propriété subjective est considérée comme absolue, car l’absolu deleuzien est l’espace topologique différentiable du Chaosmos, une multiplicité d’éléments indéterminés se rendant déterminables par une distribution hasardeuse (non-nécessaire) des singularités. De plus, il faut noter que le rapport déterminable dy/dx, doit en fait être considéré comme 0/0 : la multiplicité ne se compose pas d’unités, d’identités, mais elle se caractérise par la pure déterminabilité du rapport, comme une structure de liaisons idéales. Au contraire de ce que Meillassoux soutient, une multiplicité n’est ni multiple, ni une : en ce cens le monisme est un pluralisme car un variété idéelle ne se compose pas d’élément mais est la condition de la déterminabilité de toute identité. En ce sens, comme l’Hyperchaos, le Chaosmos est un ensemble qu’on ne peut par réduire à une totalité de possible car d’abord il se différentie sans raison (il n’y a pas une nécessité dans son devenir), d’une et en suite il ne correspond pas à la somme de tous les possibles, le virtuel de Deleuze s’oppose explicitement au possible. Les deux virtuels, alors, ne sont pas la cause qui détermine d’une manière nécessaire l’existence d’un seul et unique espace-temps. A ce propos il faut noter que chaque processus de différenciation, d’actualisation, se fait selon Deleuze par rapport à un dynamisme spatial et temporel propre : l’espace-temps actuel est constitué par des espaces-temps locaux se constituant comme milieu de chaque processus d’individuation.

Bien qu’il ne soit pas matérialiste au sens de Meillassoux, alors, l’empirisme transcendantal pourrait plutôt être défini avec un autre terme qui apparait dans la conférence de Berlin pour nommer les philosophies qui supposent que la réalité est régie par des lois qui échappent à la science : Hyperphysique. En fait, les lois de la physique décrivent des états de choses où les différences tendent à s’annuler « tel est le contenu le plus général des principes de Carnot, de Curie, de Le Chatelier, etc. : la différence n’est raison suffisante de changement que dans la mesure où ce changement tend à la nier »[48]. Selon Deleuze, l’accès spéculatif aux conditions réelles de l’expérience phénoménale nous fait saisir comme raison d’être des choses « quelque chose qui est contraire aux lois de la nature »[49]. L’empirisme transcendantal serait donc une hyperphyisique plutôt qu’un subjectialisme, donc une philosophie expliquant la raison de la vérité des descriptions physiques sur la base d’une vérité du relatif plutôt que sur la base de la capacité de la pensée de produire des représentations indépendantes des circonstances ou des coordonnées spatiales et temporelles.

9- Les modèles mathématiques de la genèse

Pour construire son empirisme transcendantal, légitimant la connaissance scientifique comme vraie  partir de l’accès à la vérité absolue du relatif, Deleuze prend la philosophie des mathématiques de Lautman comme modèle. Ainsi, toute théorie mathématique a une valeur relatif aux circonstances problématiques particulières : l’histoire des mathématiques est une histoire de problèmes. Par contre Meillassoux pour légitimer son matérialisme, impliquant une connaissance scientifique capable de décrire tout fait indépendamment des conditions spatiales et temporelles, se réfère à un autre modèle : celui de l’axiomatique.

Dans la conférence Iteration, reiteration and the meaningless sign, Meillassoux s’appuie sur la théorie de Hilbert pour soutenir que les mathématiques constituent un système de signes qui témoigne de la capacité de l’esprit de saisir la contingence de toute chose comme propriété indépendante de toute considération subjective. A la base des mathématiques il y a des signes dépourvus de signification qui, comme par exemple « I », peuvent être répétés à l’infini (I II III IIII) sur la base, par exemple, de l’opération de l’addition. Pour saisir ces signes comme permettant d’engendrer les mathématiques, il faut les saisir d’une manière indépendante de tout jugement subjectif. A ce propos Meillassoux fait un exemple très instructif : supposons qu’un archéologue trouve une tablette avec une série de signes « + + + + +  ». Il peut considérer la série soit comme une décoration dont l’effet sur le sujet dépend des aspects qualitatifs de la série, soit comme l’exercice d’un élève qui apprend à écrire un caractère. Cette seconde modalité, dans laquelle toute différence qualitative entre les signes disparait à la faveur d’une itération de la même identité, permet de saisir ce que ne dépend pas ni de l’espace ni du temps dans lesquels la répétition est perçue par un sujet (dans le cas de la décoration, par contre, à chaque répétition l’élément produit une impression esthétique différente). Le signe dépourvu de signification est donc un élément itérable d’une manière indéfinie, tandis que tout objet matériel et actuel ne peut donner origine qu’à des séries limitées. Cette caractéristique en fait la condition à la base du concept mathématique fondamentale, c’est-à-dire l’infini comme série qui peut être augmenté d’une manière illimitée (transfini). Toutefois, d’autres propriétés appartiennent au signe dépourvu de signification : il possède une identité qui permet de le distinguer de toute autre signe (et de distinguer toute série de signes de toute autre) et qui est indépendante de son support matériel et il est arbitraire, au sens qu’on peut substituer chaque signe avec n’importe quel autre (la série + + + +  peut être substituée par la série § § § §). Or, ces propriétés du signe dépourvu de signification n’appartiennent ni au signe signifiant, ni aux objets considérés du point de vue subjectif, qui subsistent dans des circonstances spatiale et temporelles précises. Ainsi le signe dépourvu de signification, comme condition de des mathématiques, est saisissable du point de vue de sa contingence absolue : il a une identité qui permet de le distinguer de tout autre, bien que il puisse être substitué par tout autre et il est l’élément à la base de la possibilité de penser l’infini comme ensemble transfini (non-totalisable). A ce propos, il faut se souvenir que l’Hyperchaos, comme ensemble transfini, est l’ensemble non-totalisable de tout faits qui peuvent être actualisé. La capacité purement rationnelle de concevoir le signe dépourvu de signification, c’est-à-dire l’élément à la base des mathématiques, permet d’affirmer qu’on est capable de saisir chaque fait selon sa contingence absolue, au-delà des circonstances spatio-temporelles au-delà des effets esthétiques et au-delà de la signification.

Du point de vue spéculatif, qui saisit chaque fait comme un signe dépourvu de signification et donc comme contingent, alors la nature et la pensée doivent être conçues comme deux séries de signes qui diffèrent en nature, qui existent sans raison et qui peuvent être substitués par d’autres séries. Ceci permet donc à la pensée de se concevoir comme un fait contingent en évitant de devoir rechercher ses propres conditions d’existence dans la nature et de devoir considérer la nature comme possédant déjà des propriétés subjectives. Le virtuel, comme Hyperchaos, est donc parfaitement rationnel à partir de l’axiomatique à la base de la théorie des ensembles.

Les deux virtuels, le Chaosmos et l’Hyperchaos, sont deux multiplicités non-totalisables et nécessaires qui laissent émerger sans nécessité des espaces-temps, ou des ensembles de lois déterminent le devenir de la réalité actuelle. Toutefois la manière dont les deux multiplicités produisent tout état de chose actuel, la pensée comprise, diffère sur la base du modèle mathématique employé, ou plus précisément par rapport à l’interprétation philosophique de l’origine des mathématiques : d’une part les identités dépendent des relations, de l’autre les relations dépendent des identités.


[1] Gilles Deleuze, Différence et répétition, Paris: PUF 1969, p. 235.

[2] Gilles Deleuze, Différence et répétition, Paris: PUF 1969, p. 235.

[3] Voir, Gilles Deleuze, Le Bergsonisme, Paris : PUF, 1966, p. 13.

[4] Voir: Quentin Meillassoux, Iteration, Reiteration, Repetition: A Speculative Analysis  of The Meaningless  Sign, Freie  Universität, Berlin, 20 avril 2012. https://cdn.shopify.com/s/files/1/0069/6232/files/Meillassoux_Workshop_Berlin.pdf

[5] Voir, Anne Sauvagnargues, Deleuze, l’empirisme transcendantal, Paris : PUF 2009.

[6] Gilles Deleuze, Différence et répétition, op. cit., p. 221.

[7] Idem

[8] Gilles Deleuze, Différence et répétition, op. cit., p. 228.

[9] Gilles Deleuze, Différence et répétition, op. cit., p. 223.

[10] Gilles Deleuze, Différence et répétition, op. cit., p. 221.

[11] Gilles Deleuze, Différence et répétition, op. cit., p. 286.

[12]  Idem.

[13] Hermann Weyl, Die Idee der Riemannschen Fläche, Leipzig: B.G. Teubner 1913, p.36.

[14] Gilles Deleuze, Différence et répétion, op.cit., p. 332.

[15] Gilles Deleuze, Différence et répétition, op.cit., p. 219.

[16] Gilles Deleuze, Différence et répétition, op. cit., p. 332.

[17] Gilles Deleuze, Différence et répétition, op. cit., p. 236.

[18] Gilles Deleuze, Le Bergsonisme, Paris: PUF , p. 31.

[19] Gilles Deleuze, Le Bergsonisme, Paris: PUF , p. 32. Il faut noter que cette définition des multiplicité est prise de Herman Weyl, Temps, espace, matière. Leçons sur la théorie de la relativité générale, tr. Fr. Juvet et Leroy, Paris : Librairie scientifique Albert Blanchard, 1958.

[20] Gille Deleuze, Différence et répétition, op. cit, p. 237.

[21] Voir Herman Weyl, Die Idee der Riemannschen Fläch, Liepziz, Berlin: Druck und Verlang Von Teubner 1913, p. 36.

[22] Gilles Deleuze, Différence et répétition, op. cit., p. 237.

[23] Gilles Deleuze, Différence et répétition, op. cit., p. 237.

[24] Albert Lautman, Essai  sur les  notions  de structure  el d’existence en mathématiques,  Paris : Hermann,  1936,  t. II, p. 133.

[25] Henri Poincaré, « Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle », in Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1881, pp. 251-296.

[26] Voir Simon Duffy, Deleuze and the history of mathématics, op. cit., p. 40-41.

[27] Gilles Deleuze, Différence et répétition, op.cit., p. 230.

[28] Gilles Deleuze, Différence et répétition, op. cit., p. 238.

[29] Gilles Deleuze, Différence et répétition, op. cit., p. 267.

[30] Gilles Deleuze, Différence et répétition, op. cit., pp. 283-4

[31] Gilles Deleuze, Différence et répétition, op. cit., p. 273.

[32] Idem.

[33] Voir, Gilbert Simondon, L’individu et sa genèse physico-biologique, Paris : P.U.F. 1964.

[34] Gilles Deleuze, Différence et répétition, op. cit., p. 316.

[35] Idem.

[36] Gilles Deleuze, Différence et répétition, op. cit., p. 283.

[37] Idem

[38] Gilles Deleuze, Différence et répétition, op. cit., p. 332.

[39] Gilles Deleuze, Différence et répétition, op.cit., p. 235.

[40] Idem.

[41] Gilles Deleuze, Différence et répétition, op. cit., p. 235.

[42] Idem.

[43] Gilles Deleuze, Différence et répétition, op. cit., p. 258.

[44] Quentin Meillassoux, Iteration, Reiteration, Repetition:  A Speculative Analysis of the Meaningless Sign, Freie Universität,            Berlin, 20 April 2012, available on-line: www.spekulative-poetik.de.

[45] La célèbre formule apparait en Gilles Deleuze et Félix Guattari, Milles Plateaux : Capitalisme et schizophrénie II, Paris : Minuit 1972, p. 31.

[46] Le terme « chaosmos », emprunté de Joyce, apparaît pour la première fois en Différence et répétition (op. cit., pp. 80, 257, 262, 382) pour désigner les multiplicités virtuelles.

[47] Quentin Meillassoux, Iteration, reiteration and the meaningless sign, op.cit., p. 16 [notre traduction].

[48] Gilles Deleuze, Différence et répétition, op. cit., p. 288.

[49] Gilles Deleuze, Différence et répétition, op. cit., p. 293.

  1. Tres bonne analyse sur le fond comme toujours chez anna longo

  2. Sublime anna longo

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